2024 행시 2차 통계학 3번 해설

1) $P(X_1 = 0)$

$Y$의 밀도 $ye^{-y}$는 형상모수 2, 비율 1인 감마분포입니다. $P(X_1 = 0 \mid Y = y) = e^{-y}$이므로 전확률 공식에 의해

$$P(X_1 = 0) = \int_0^\infty e^{-y}\cdot ye^{-y}dy = \int_0^\infty ye^{-2y}dy = \frac{\Gamma(2)}{2^2} = \frac{1}{4}$$

입니다.

2) $X_1 = x_1, \ldots, X_n = x_n$이 주어졌을 때 $Y$의 조건부확률밀도함수

$s = \sum_{i=1}^n x_i$라 하겠습니다. 조건부 독립을 이용하면 결합분포는

$$f_Y(y)\prod_{i=1}^n \frac{y^{x_i}e^{-y}}{x_i!} = \frac{y^{s+1}e^{-(n+1)y}}{\prod x_i!}$$

입니다. 이를 $y$에 대해 적분한 주변확률은 $\frac{1}{\prod x_i!}\cdot\frac{\Gamma(s+2)}{(n+1)^{s+2}}$이므로 베이즈 정리에 의해

$$f_{Y \mid X}(y \mid x_1, \ldots, x_n) = \frac{(n+1)^{s+2}}{\Gamma(s+2)}\,y^{s+1}e^{-(n+1)y} = \frac{(n+1)^{s+2}}{(s+1)!}\,y^{s+1}e^{-(n+1)y}, \quad y > 0$$

입니다. 즉 사후분포는 형상모수 $s+2$, 비율 $n+1$인 감마분포이며, 감마 사전분포가 포아송 가능도의 켤레분포임을 보여 줍니다. 사후평균은 $\frac{s+2}{n+1}$로, 사전평균 2와 표본평균 $\bar x$의 가중평균 $\frac{1}{n+1}\cdot 2 + \frac{n}{n+1}\bar x$입니다.

3) 조건부확률 $P(X_{n+1} = 0 \mid X_1 = x_1, \ldots, X_n = x_n)$

$Y$가 주어지면 $X_{n+1}$은 $X_1, \ldots, X_n$과 조건부 독립이므로

$$P(X_{n+1} = 0 \mid x) = \int_0^\infty P(X_{n+1} = 0 \mid y)\,f(y \mid x)dy = \int_0^\infty e^{-y}\frac{(n+1)^{s+2}}{\Gamma(s+2)}y^{s+1}e^{-(n+1)y}dy$$

$$= \frac{(n+1)^{s+2}}{\Gamma(s+2)}\cdot\frac{\Gamma(s+2)}{(n+2)^{s+2}} = \left(\frac{n+1}{n+2}\right)^{s+2}, \qquad s = \sum_{i=1}^n x_i$$

입니다. 관측이 없는 경우($n = 0$, $s = 0$)를 넣으면 $(1/2)^2 = 1/4$로 1)의 결과와 일치합니다. 관측된 합 $s$가 클수록 $Y$가 크다고 추정되므로 다음 관측값이 0일 확률은 작아집니다.