2024 행시 2차 통계학 1번 해설

1) $Y_i$의 확률분포

$X_i$의 분포함수는 $0<x<1$에서 $F_X(x) = \int_0^x \theta t^{\theta-1}dt = x^\theta$입니다. $Y_i = -\ln X_i$는 $(0,1)$을 $(0,\infty)$로 보내는 감소함수이므로 $y>0$에서

$$P(Y_i > y) = P(-\ln X_i > y) = P(X_i < e^{-y}) = (e^{-y})^\theta = e^{-\theta y}$$

입니다. 따라서

$$f_{Y}(y) = \theta e^{-\theta y}, \quad y > 0$$

즉 $Y_i$는 비율(rate) $\theta$, 평균 $1/\theta$인 지수분포를 따르며, $Y_1, \ldots, Y_n$은 서로 독립입니다. 야코비안을 쓰면 $x = e^{-y}$, $|dx/dy| = e^{-y}$이므로 $f_Y(y) = \theta (e^{-y})^{\theta-1} e^{-y} = \theta e^{-\theta y}$로 같은 결과를 얻습니다.

2) $W = \min(Y_1, \ldots, Y_n)$의 기댓값

$W > w$는 모든 $Y_i > w$와 같으므로, 독립성에 의해

$$P(W > w) = \prod_{i=1}^n P(Y_i > w) = e^{-n\theta w}, \quad w > 0$$

입니다. 따라서 $W \sim Exp(n\theta)$이고

$$E(W) = \frac{1}{n\theta}$$

입니다.

3) $Z = \max(X_1, \ldots, X_n)$의 분산

$Z \le z$는 모든 $X_i \le z$와 같으므로 $0<z<1$에서

$$F_Z(z) = (z^\theta)^n = z^{n\theta}, \qquad f_Z(z) = n\theta z^{n\theta-1}$$

이며, $Z$는 $Beta(n\theta, 1)$ 분포입니다. 적률을 계산하면

$$E(Z) = \int_0^1 n\theta z^{n\theta}dz = \frac{n\theta}{n\theta+1}, \qquad E(Z^2) = \int_0^1 n\theta z^{n\theta+1}dz = \frac{n\theta}{n\theta+2}$$

이므로

$$Var(Z) = \frac{n\theta}{n\theta+2} - \left(\frac{n\theta}{n\theta+1}\right)^2 = \frac{n\theta\left[(n\theta+1)^2 - n\theta(n\theta+2)\right]}{(n\theta+2)(n\theta+1)^2} = \frac{n\theta}{(n\theta+1)^2(n\theta+2)}$$

입니다. 대괄호 안은 $(n\theta)^2 + 2n\theta + 1 - (n\theta)^2 - 2n\theta = 1$입니다.

참고로 $Z = \max X_i = e^{-\min Y_i} = e^{-W}$이므로, 2)의 결과를 이용해 $E(Z) = E(e^{-W}) = \frac{n\theta}{n\theta+1}$로 검산할 수도 있습니다.